L'efficacité cachée de la base trois, et la question de savoir si un jeu bâti sur elle est discrètement la machine la plus élégante.
Rédigé et édité en anglais. Cette version française a été produite par traduction automatique ; en cas de doute sur un point précis, l'original anglais fait foi. Lire l'original en anglais →
3927, c'est 2048 reconstruit en trois dimensions et dans une autre arithmétique. Le plateau est un cube 3×3×3, vingt-sept cases, et vous poussez le cube entier dans l'une des six directions. Quand trois tuiles de même valeur se percutent, elles ne doublent pas : elles triplent. Un trois devient un neuf, un neuf devient un vingt-sept, et ainsi de suite : 81, 243, 729. Le nom lui-même égrène en montant les trois premières tuiles, 3·9·27, et tout dans la conception n'est que des trois jusqu'au bout : trois par axe, trois pour une fusion, trois comme facteur de croissance. 4
Son ancêtre est obstinément binaire. Le 2048 classique manie les puissances de deux, 2, 4, 8, 16…, et fusionne les tuiles par paires. Deux est le nombre du pile ou face, du transistor, du bit. La question naturelle que se pose un joueur curieux est donc de savoir si troquer deux contre trois n'est qu'une coquetterie, ou si trois dissimulait depuis toujours un avantage réel. Il se trouve que les mathématiques ont un avis, et cet avis est étonnamment ferme.
Imaginez que vous deviez construire une machine qui stocke des nombres. Chaque position de chiffre vous coûte quelque chose, une roue, un fil, un tube, et ce coût croît avec la base, car un chiffre en base b réclame b états distinguables. Mais une base plus grande signifie aussi moins de chiffres pour atteindre un nombre donné. Il y a là une tension, et elle porte un nom : l'économie de base.
Formellement, l'économie de la représentation d'un nombre N en base b vaut la base multipliée par le nombre de chiffres, E(b,N) = b ⌊logb N + 1⌋. 1 Une grande base vous achète des nombres courts mais des chiffres coûteux ; une petite base revient peu cher au chiffre près, mais s'étale. Quelque part entre les deux extrêmes se tient un optimum, et ce n'est pas là qu'a atterri l'essentiel de notre technologie.
| Base | b ÷ ln b | écart à l'optimum |
|---|---|---|
| 2 | 2.885 | +6.2% |
| 3 | 2.731 | +0.5% |
| e ≈ 2.718 | 2.718 | optimum |
| 10 | 4.343 | +59.8% |
Pour de grands N, l'économie se comporte comme (b ÷ ln b) · ln N : l'efficacité d'une base repose donc entièrement sur le facteur b ÷ ln b. Minimisez-le avec un peu de calcul différentiel et la réponse est exacte et étrange : la base la plus économique de toutes est e, environ 2,71828. 1 On ne peut évidemment pas construire un ordinateur avec 2,718 états par chiffre. Mais on peut demander quel entier se tient au plus près de cet idéal, et le vainqueur, battant à la fois deux et dix, est trois.
L'écart n'a rien d'académique. La base trois se place à moins d'un demi-pour-cent de l'optimum théorique, tandis que le binaire paie une surtaxe de six pour cent et le décimal un écrasant soixante. Une façon concrète de le sentir : pour écrire tous les nombres de 0 jusqu'à 999 999, le binaire réclame 20 chiffres, le décimal 6, mais le ternaire 13 seulement, et 13×3 fait un total plus petit que 20×2. 1 Trois tasse véritablement plus de comptage dans moins de structure.
On a demandé à la nature de nommer la façon la plus efficace de compter, et elle a répondu par un nombre irrationnel. L'entier le plus proche de cette réponse est trois.
Ce n'est pas qu'une curiosité de manuel. En 1958, à l'université d'État de Moscou, une équipe menée par Nikolay Brusentsov et le mathématicien Sergei Sobolev construisait le Setun, l'ordinateur ternaire le plus célèbre jamais réalisé. 3 Là où l'Occident s'engageait dans les bits, le Setun comptait en trits, et il employait un schéma particulièrement beau : le ternaire équilibré, dont les trois valeurs de chiffre ne sont pas 0, 1, 2 mais −1, 0, +1. 2
La symétrie paie immédiatement. Un nombre porte son propre signe, pas de bit de signe séparé, pas de contorsions en complément à deux, et pour prendre l'opposé d'une valeur il suffit d'inverser chaque chiffre. Arrondi et troncature deviennent la même opération. Donald Knuth y voyait « peut-être le plus joli de tous les systèmes de numération ». 2 Faute de transistors, Brusentsov a tiré trois états stables de tores de ferrite appariés ; une cinquantaine de Setun ont été construits, la plupart envoyés enseigner les mathématiques dans les universités soviétiques. 3 La machine fonctionnait, elle était bon marché, et elle avait discrètement une longueur d'avance sur ses voisines.
C'est ici qu'un auteur consciencieux doit se retenir. L'économie de base est une affirmation sur le stockage et le traitement des nombres sous des hypothèses de coût bien précises, et les mathématiciens eux-mêmes relèvent que ces hypothèses ne sont qu'approximatives, un bilan plus complet rejustifie souvent le binaire, ce qui explique que le monde tourne dessus. 1 Un casse-tête de fusion n'est pas une banque de mémoire ; personne ne minimise des comptes de tubes pendant sa pause-café. 3927 n'est donc pas « plus efficace » au sens porteur du terme en ingénierie, et le prétendre serait une tricherie.
Et pourtant. Le jeu hérite de quelque chose de vrai. La croissance par triplement atteint de grands nombres en moins de coups, et en des coups plus lourds de conséquences ; chaque fusion accomplit davantage, et un cube 3×3×3 est le plus petit plateau qui laisse la fusion à trois respirer dans toutes les directions. 4 La conception n'est pas tombée sur trois par hasard, elle a atterri sur l'entier que la mathématique du comptage privilégie discrètement depuis un siècle, celui que les ingénieurs du Setun ont choisi délibérément. Deux est le nombre vers lequel nous avons glissé par défaut. Trois est le nombre que nous aurions choisi si l'efficacité, et non le pile ou face, avait eu le dernier mot. Que les tuiles épellent justement 3, 9, 27 est une petite plaisanterie que l'univers racontait déjà.
Game facts, the 3×3×3 board, six shift directions, three-tile ×3 merge, and the 3·9·27 naming, are measured from the game's design documents. Mathematical and historical claims are drawn from the references below.