Un duel d'espaces d'états entre une grille plate de puissances de deux et un cube entièrement bâti sur des trois.
Rédigé et édité en anglais. Cette version française a été produite par traduction automatique ; en cas de doute sur un point précis, l'original anglais fait foi. Lire l'original en anglais →
Les deux jeux sont des casse-tête de nombres glissants. Dans 2048, vous poussez une grille 4×4 de seize cases dans l'une des quatre directions ; les tuiles égales se percutent et doublent, gravissant les puissances de deux. Dans 3927, vous poussez un cube 3×3×3 de vingt-sept cellules dans l'une des six directions ; trois blocs égaux se percutent et triplent, gravissant les puissances de trois — 3, 9, 27, les chiffres mêmes du nom. 1 Demander lequel est le plus difficile revient en réalité à demander lequel cache le plus vaste océan de positions possibles. Essayons donc de mesurer l'eau.
La taille brute d'un plateau croît comme (symboles par cellule)cells. Le nombre de cellules loge dans l'exposant, et c'est là que réside tout le levier. 2048 offre seize cases ; 3927 en offre vingt-sept. À alphabet par cellule constant, le cube est déjà plus vaste d'un facteur d'environ a27−16 = a11 ; avec un alphabet de dix symboles, cela seul représente cent milliards de fois plus d'états, avant même de tenir compte de quoi que ce soit d'autre. C'est la dimension supplémentaire, et non l'arithmétique en base 3, qui est le véritable moteur.
Chaque cellule est soit vide, soit occupée par une valeur de tuile. Pour 2048 plafonné à la tuile 256, une cellule parle l'un de neuf symboles : vide, plus {2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256}. Une borne supérieure publiée, construite sur exactement cet alphabet, situe le plateau 4×4 à environ 5,63 × 1014 positions, et les auteurs reconnaissent franchement que ce plafond inclut des plateaux illégaux qui ne peuvent jamais survenir. 2 Donnez à 3927 une profondeur comparable — vide plus {3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187}, huit symboles — et son plafond brut est de 827 ≈ 2,4 × 1024. La base 3 achète à 3927 moins de symboles par cellule que ne le ferait la base 2 ; les onze cellules supplémentaires lui rendent le ciel.
Prolongez un peu les échelles de valeurs et le plafond de 3927 dépasse celui de 2048 d'un facteur compris entre un milliard et cent milliards. Le cube l'emporte sur l'exposant.
Personne n'a énuméré les états atteignables de 2048 en taille réelle, et encore moins ceux de 3927. Mais des chercheurs ont résolu exhaustivement des plateaux de 2048 réduits, et ces chiffres exacts ancrent nos estimations. Un plateau 3×3 de 2048 compte 48 713 519 états atteignables ; étirez-le en 4×3 et le décompte franchit les mille milliards : 1 152 817 492 752 états, dont 739 648 886 170 positions distinctes après coup. 3 Chaque cellule ajoutée multiplie le monde. Extrapolez cette courbe jusqu'à 27 cellules et aucun tableau honnête ne peut imprimer un nombre unique.
| Propriété | 2048 | 3927 |
|---|---|---|
| Plateau | grille plate 4×4 | cube 3×3×3 |
| Cellules | 16 | 27 |
| Base numérique | 2 | 3 |
| Règle de fusion | 2 identiques → double | 3 identiques → triple |
| Directions de poussée | 4 | 6 |
| Symboles / cellule (profondeur comparable) | 9 | 8 |
| Plafond brut (illégaux inclus) | ~1.9 × 10¹⁵ | ~2.4 × 10²⁴ |
| Borne supérieure affinée citée | 5.63 × 10¹⁴ | aucune publiée |
| Décompte exact, sous-plateau 4×3 | 1.15 × 10¹² | , |
Chaque grand nombre présenté ici est une borne supérieure ou une estimation en ordre de grandeur, jamais un recensement. Les plafonds comptent des plateaux qu'un jeu légal ne peut jamais atteindre — trois 2 isolés, par exemple, ou des valeurs qu'aucune séquence de fusions ne peut produire. Les chiffres de 2048 proviennent de travaux évalués par les pairs ; ceux de 3927 sont mes propres plafonds calculés au dos d'une enveloppe, de la même manière, et doivent se lire comme « pas moins que cela, probablement bien moins ». Les règles des deux jeux sont mesurées d'après les documents de conception du jeu, et non supposées.
La taille de l'espace d'états est la carte ; le facteur de branchement dit à quelle vitesse on la parcourt. À chaque tour, le joueur choisit une direction — jusqu'à quatre dans 2048, jusqu'à six dans 3927 —, si bien que le cube offre cinquante pour cent de choix réels de plus par coup. Puis le hasard intervient : le jeu dépose une nouvelle tuile dans une cellule vide choisie au hasard. 2048 fait apparaître un 2 ou un 4, soit environ deux issues par cellule libre sur un maximum de quinze cases vides ; 3927 fait toujours apparaître un unique 3, mais dans un maximum de vingt-six cellules vides. 1 Multipliez la décision par le hasard et l'arbre de jeu de 3927 s'évase davantage à chaque demi-coup ; et, comme les fusions par trois sont plus rares que les fusions par deux, ses parties tendent à durer plus longtemps, ce qui approfondit l'arbre autant que cela l'élargit.
« Plus difficile » pour un humain est affaire de ressenti, et 2048 n'a rien d'une promenade : déterminer si une position arbitraire peut atteindre une tuile cible est démontrablement NP-difficile sur un plateau général. 4 Mais en tant qu'objet combinatoire, 3927 est la bête la plus grosse, avec une marge large et honnête : plus de cellules dans l'exposant, plus de directions dans le branchement, des parties plus longues dans la profondeur. L'arithmétique en base 3 qui lui donne son nom est presque un leurre. La difficulté n'a jamais résidé dans les trois. Elle résidait dans la troisième dimension.
Method: per-cell alphabet counts and the ceilings 916 and 827 are elementary combinatorics on matched value-ladder depths; the 2048 refined bound and exact sub-board counts are quoted from the cited papers. All 3927 figures are the author's estimates computed by the same recipe and are upper bounds, not enumerations. Where the two games' possibility spaces are compared, ratios are stated as ranges to reflect that uncertainty.