Line of Fit

Vous recevez un nuage de points et une droite y = m·x + b, qui part à plat sur y = 0. Réglez la pente m et l'ordonnée à l'origine b avec les curseurs ou en faisant glisser la droite. Un trait rouge de résidu relie chaque point à votre droite et montre de combien elle le manque. En Exact et Best Fit, votre erreur reste cachée pendant la partie : jugez l'ajustement à l'œil, puis appuyez sur Lock in. Le résultat affiche votre erreur, l'objectif, votre précision et la droite que vous deviez viser, tracée en pointillés.

• Exact : 4 à 8 points se trouvent exactement sur une droite cachée, donc un Lock in parfait donne une erreur de 0.
• Best Fit : 8 à 16 points sont dispersés autour d'une droite, donc aucune droite ne passe par tous. Le par est l'erreur de la droite des moindres carrés, la droite dont la somme des carrés des résidus est la plus petite possible.
• Drift : les points se déplacent pendant 30 secondes et vous maintenez la droite sur eux avec les curseurs ; l'erreur est affichée en direct.
• L'erreur est la somme des carrés des résidus : élevez au carré la distance verticale entre chaque point et votre droite, puis additionnez le tout.
• Score (Exact et Best Fit) : précision × (900 + un bonus de rapidité), où la précision vaut 1 / (1 + l'erreur au-dessus du par par point) et où le bonus de rapidité part de 100 et tombe à 0 après 120 secondes. Drift note sur 1 000 la part des 30 secondes pendant laquelle vous avez maintenu un bon ajustement.
• Give up affiche la meilleure droite et donne un score de 0.

En Exact, lisez deux points sur la grille. S'il s'agit de (0, 3) et (2, 4), la droite monte de 1 pour 2 en abscisse, donc m = 0,5, et elle coupe l'axe des y en 3, donc b = 3. Réglez ces valeurs, appuyez sur Lock in et l'erreur est de 0 : précision de 100 %.

En Best Fit, supposons qu'il y ait 8 points et que le par soit de 15,3. Validez une droite dont l'erreur est de 23,3 et vous êtes à 8 au-dessus du par, soit 1 par point, donc votre précision est de 1 / (1 + 1) = 50 %. Validez-la après 30 secondes, quand le bonus de rapidité est de 75, et vous marquez 0,5 × 975 = 488 points.

• Daily : les mêmes points pour tout le monde chaque jour, pour chaque défi et chaque niveau (le jour change à minuit UTC). Seule votre première partie Daily de chaque défi et niveau compte pour le classement ; elle est considérée comme jouée dès votre premier coup.
• Practice : de nouveaux points aléatoires à chaque manche ; appuyez sur New pour en obtenir d'autres.
• Les niveaux 1 à 5 ajoutent des points et, en Best Fit et Drift, davantage de dispersion. Daily et Practice ont des classements distincts pour chaque défi et chaque niveau.

• Ordinateur : faites glisser les curseurs de pente et d'ordonnée à l'origine, ou faites glisser la droite elle-même : le milieu décale l'ordonnée à l'origine, les extrémités inclinent la pente. Appuyez sur Lock in quand vous êtes satisfait.
• Téléphone et tablette : faites glisser les curseurs ou la droite avec le doigt, puis touchez Lock in ; touchez les boutons au-dessus du graphique pour changer de défi, choisir Daily ou Practice et changer de niveau.

• Réglez d'abord l'ordonnée à l'origine pour que la droite traverse le milieu du nuage, puis inclinez la pente jusqu'à avoir à peu près autant de points au-dessus de la droite qu'en dessous.
• La droite des moindres carrés passe toujours par le point moyen, de coordonnées la moyenne des x et la moyenne des y (régression linéaire simple : propriétés numériques) : trouvez donc le centre du nuage et faites pivoter la droite autour de lui.
• L'élévation au carré fait peser les gros écarts bien plus que les petits : un résidu deux fois plus long ajoute quatre fois plus d'erreur, alors ne laissez pas un point éloigné pendre loin de la droite.
• En Exact, lisez deux points situés sur des lignes de la grille et calculez la pente comme le rapport entre la montée et l'avancée.
• En Drift, gardez la pente stable et suivez le nuage avec l'ordonnée à l'origine.

Line of Fit fait de la régression linéaire quelque chose que l'on peut voir et ressentir : ce que font la pente et l'ordonnée à l'origine, ce qu'est un résidu et pourquoi la meilleure droite équilibre les points plutôt que de passer par eux.

• Compétences : fonctions linéaires, pente et ordonnée à l'origine, nuages de points, résidus, moindres carrés
• Idéal pour : environ de la 4e à la terminale (à partir de 13 ans)
• Pour les parents et les enseignants : ajuster d'abord à l'œil, puis comparer avec la droite des moindres carrés, est une bonne porte d'entrée vers les formules, et les manches Exact entraînent à lire la pente et l'ordonnée à l'origine sur un graphique.

La droite à laquelle le jeu vous compare est la droite des moindres carrés. Le premier exposé clair de la méthode des moindres carrés a été publié par Adrien-Marie Legendre en 1805, dans un ouvrage sur la détermination des orbites des comètes ; en 1809, Carl Friedrich Gauss a publié sa propre méthode et affirmé la connaître depuis 1795 (moindres carrés : historique). Les calculs par les moindres carrés de Gauss ont été les seules prédictions qui ont permis à l'astronome Franz Xaver von Zach de retrouver l'astéroïde Cérès, après que Giuseppe Piazzi l'eut découvert en 1801 et suivi pendant 40 jours (moindres carrés : la méthode).

Le mot régression vient de Francis Galton, qui l'a employé au XIXe siècle pour désigner la tendance des tailles des descendants d'ancêtres grands à revenir vers la moyenne (analyse de régression : historique). Ajuster une seule droite y = m·x + b à des points ayant une entrée et une sortie, c'est la régression linéaire simple (régression linéaire simple).

Line of Fit est un jeu original de PlayPendium. Ses points sont générés à partir d'une graine, si bien que le Daily est le même pour tout le monde, et la droite des moindres carrés à laquelle il vous compare est calculée exactement pour chaque ensemble de points. Il fonctionne dans le navigateur, sans installation ni compte.

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